Скачать (download): Пленарные лекции (рус) | Plenary lectures (eng)
Aronson Igor S.
Professor
Pennsylvania State University, USA
Плавание в сверхтекучей жидкости
Движение живых микроорганизмов, в конечном счете, зависит от вязкого сопротивления при взаимодействии тела и жидкости. Самодвижение в сверхтекучей жидкости, такой как 4He, считается невозможным из-за явного отсутствия вязкостного сопротивления. Исследуется самодвижение светопоглощающей частицы Януса (двуликой), взвешенной в сверхтекучем гелии 4He (часто называемом He-II). Частица питается тепловым потоком за счет поглощения света от внешнего источника. Показано, что квантово-механическая движущая сила возникает за счет преобразования сверхтекучей жидкости в нормальную жидкость на нагретой поверхности частицы. Теоретический анализ подтвержден численным решением в рамках модели Гинзбурга-Ландау-Халатникова для сверхтекучей среды. Наши результаты проливают свет на динамику включений в сверхтекучей среде и стимулируют новые эксперименты.
Swimming in a superfluid
The propulsion of living microorganisms ultimately relies on viscous drag for body-fluid interaction. The self-locomotion in a superfluid such as 4He deems impossible due to apparent lack of the viscous resistance. We investigate the self-propulsion of a Janus (two-face) light-absorbing particle suspended in superfluid helium 4He (often called He-II). The particle is energized by the heat flux due to the absorption of light from an external source. We show that a quantum mechanical propulsion force originates due to the transformation of the superfluid to normal fluid on the heated particle face. The theoretical analysis is supported by the numerical solution of the Ginzburg-Landau-Khalatnikov model for a superfluid. Our results shed light on the dynamics of inclusions in a superfluid and stimulate new experiments.
Ахатов Искандер Шаукатович
Профессор
Центр проектирования, производственных технологий и материалов Сколковский институт науки и технологий (г. Москва)
Гидродинамика дисперсных систем: основы и приложения
Динамика дисперсных систем это раздел механики, который изучает аэрозоли (капли жидкости, диспергированные в газе), эмульсии (капли жидкости, диспергированные в другой жидкости), суспензии (твердые частицы, диспергированные в газе или жидкости), порошки (упакованные пористые среды) и пузырьковые жидкости (пузырьки рассеяны в жидкости). Благодаря своей практической значимости динамика дисперсных систем на протяжении многих лет разрабатывалась многими исследовательскими группами по всему миру и успешно использовалась в России и за рубежом для решения проблем ядерной, нефтяной, химической и экологической инженерии.
В этой презентации обсуждаются прикладные, но фундаментальные проблемы гидродинамики дисперсных систем, имеющие отношение к промышленным приложениям. А именно: (1) конвективное горение и детонация в порошковых взрывчатых веществах; (2) коллапсирующие пузырьки и сонолюминесценция; (3) акустическая кавитация и пузырьковые облака; (4) коллимация аэрозольных пучков; (5) капиллярное осаждение; и многие другие.
Hydrodynamics of Dispersed Systems: Fundamentals and Applications
The dynamics of dispersed systems is a branch of mechanics that studies aerosols (liquid drops dispersed in a gas), emulsions (liquid drops dispersed in another liquid), suspensions (solid particles dispersed in a gas or liquid), powders (packed porous media) and bubble fluids (bubbles dispersed in a liquid). Because of its practical relevance, the dynamics of dispersed systems has been the focus of multi-year studies by many research groups around the world and has been successfully used in Russia and abroad to solve problems of nuclear, petroleum, chemical, and environmental engineering.
This paper discusses applied fundamental problems in hydrodynamics of dispersed systems relevant to industrial applications. Namely: (1) convective combustion and detonation in powder explosives; (2) collapsing bubbles and sonoluminescence; (3) acoustic cavitation and bubble clouds; (4) collimation of aerosol beams; (5) capillary deposition; and many others.
Baggioli Matteo
Professor
Institute of Theoretical Physics University of Madrid (Madrid Spain)
Как найти различия между твердыми и жидкими веществами (и понять их)
Колебательные, термодинамические и механические свойства твердых тел получили всестороннее изучение со времен работы Дебая в 1912 году. Напротив, такое же глубокое понимание аморфных систем, жидкостей и стекол, остается недостижимым уже более века и до сих пор является загадкой. В этой лекции я продемонстрирую новое различие между твердыми и жидкими веществами, основанное на неаффинных смещениях и топологической симметрии высшей формы, которая может быть количественно определена с помощью концепции вектора Бургерса, применяемой к динамическим полям смещения.
Нарушение такой симметрии приводит к макроскопической скорости фазовой релаксации для режимов Голдстоуна, которые, как следствие, приобретают конечную длину распространения. Я покажу, как эта теория прекрасно воспроизводит динамику k-образного зазора для сдвиговых волн и явление положительного рассеивания звука для продольного звука в жидкостях.
Find the differences between solids and liquids (and understand them)
The vibrational, thermodynamical and mechanical properties of solids are well-understood since Debye's work in 1912. On the contrary, the same understanding for amorphous systems, liquids and glasses, has remain elusive for more than a century and it is still a mystery. In this lecture, I will propose a new distinction between solids and liquids based on non-affine displacements and a topological higher form symmetry which can be quantified by using the concept of Burgers vector applied to the dynamical displacement fields.
The breaking of such a symmetry results in a macroscopic phase relaxation rate for the Goldstone modes, which consequently acquire a finite propagation length. I will show how this theory reproduces perfectly the k-gap dynamics for shear waves and the positive sound dispersion phenomenon for longitudinal sound in liquids.
Василевский Юрий Викторович
Член-корреспондент РАН
Институт вычислительной математики им. Г.И. Марчука РАН, МФТИ, Сеченовский Университет (г.Москва)
Ю.В.Василевский, К.Д.Никитин, Р.М.Янбарисов, К.М.Терехов, М.А.Ольшанский
Трехмерные течения ньютоновских и неньютоновских жидкостей со свободной поверхностью
В лекции рассматриваются вопросы моделирования трехмерных течений ньютоновских и неньютоновских жидкостей со свободной поверхностью.
Основополагающим принципом моделирования являются минимальные предположения об особенностях жидкости и течения, поэтому модель основана на уравнениях Навье-Стокса и уравнении переноса функции уровня для отслеживания эволюции свободной поверхности.
Высокое разрешение свободной поверхности обеспечивается за счет использования динамических адаптивных сеток типа восьмеричное дерево.
Численные примеры иллюстрируют решение различных задач от осцилляции эллиптической капли до расчета штормовой нагрузки на морские сооружения и модели схода селя.
Three-dimensional flows of Newtonian and non-Newtonian fluids with a free surface
This lecture is concerned with modeling of three-dimensional flows of Newtonian and non-Newtonian fluids with a free surface.
The fundamental principle of modeling is to make minimal assumptions about fluid and flow features, so that the model is based on the Navier-Stokes equations and the equation of layer function transfer to trace the evolution of the free surface.
The high resolution of the free surface is provided by using dynamic octree-based adaptive grids.
Numerical examples illustrate solutions to different problems ranging from elliptical droplet oscillations to computation of the action of hurricane-induced loads on offshore structures and mudflow descent models.
Ватульян Александр Ованесович
Профессор
Южный федеральный университет (г. Ростов-на-Дону)
Об определении переменных физических характеристик упругих тел
Рассмотрен ряд обратных задач механики деформируемого твердого тела по определению нескольких переменных характеристик – модулей упругости, плотности по измеренным на границе тела амплитудно-частотным характеристикам.
Сформулированы общие принципы исследования нелинейных некорректных задач, которые возникают при решении. Представлена формулировка операторных соотношений в обратных задачах, построены итерационные процессы, на каждом шаге которого решается прямая задача с известными характеристиками и находятся поправки из решения операторных уравнений и систем с компактными операторами. Изучена чувствительность входной информации относительно искомых функций. В качестве примеров реконструкции представлены задачи для продольно неоднородных стержней, радиально неоднородных цилиндрических структур (круговых цилиндров и волноводов). Представлены результаты вычислительных экспериментов, сформулированы некоторые принципы нагружения, для которых реконструкция наиболее эффективна.
Determination of Variable Physical Characteristics of Elastic Bodies
A number of inverse problems in mechanics of deformable solids are considered to identify several variable characteristics such as moduli of elasticity and density using amplitude-frequency characteristics measured at the boundary of the body.
General principles of investigation of nonlinear ill-posed problems arising during a search for solutions are formulated. A formulation of the operator relations of inverse problems is proposed and the appropriate iterative processes are constructed. At each step of the iterative process the direct problem with known characteristics is solved and corrections are found by solving the operator equations and the systems with compact operators. The sensitivity of input information to the desired functions is examined. Problems of longitudinally inhomogeneous bars and radially inhomogeneous cylindrical structures (circular cylinders and waveguides) are considered as the examples of reconstruction. The results of computational experiments are presented and some principles of loading, providing the most effective reconstruction, are formulated.
Георгиевский Дмитрий Владимирович
Профессор
МГУ им. М.В. Ломоносова (г. Москва)
Элементы теории определяющих соотношений и линеаризованные постановки задач устойчивости
Элементы теории определяющих соотношений. Касательный модуль и касательная податливость. Физическая линейность, тензорная линейность (квазилинейность) и нелинейность. Материальные функции. Реономные и склерономные среды. Однородные и неоднородные среды. Композиты. Упругие тела. Вязкие жидкости. Среды с памятью. Нелокальные среды.
Тензорные функции и их инварианты в теории определяющих соотношений. Потенциальные среды и условия потенциальности. Несжимаемые материалы.
Нелинейные упруговязкопластические модели. Классификация несжимаемых сред (квазилинейные модели, тела Бингама, идеально пластические среды, ньютоновские вязкие жидкости).
Постановка линеаризованной краевой задачи устойчивости течения относительно малых возмущений начальных данных.
Elements of the Theory of Constitutive Relations and Linearized Formulations of Stability Problems
Elements of the Theory of Determinative Relationships. Tangent modulus and tangential mobility. Physical linearity, tensor linearity (quasi-linearity) and non-linearity. Material functions. Rayon and scleronome media. Homogeneous and inhomogeneous media. Composites. Elastic bodies. Viscous fluids. Mediums with memory. Non-local media.
Tensor functions and their invariants in the theory of defining relations. Potential media and potentiality conditions. Incompressible materials.
Nonlinear elastic-viscoplastic models. Classification of incompressible media (quasi-linear models, Bingham bodies, ideal plastic media, Newtonian viscous fluids).
Statement of linearized boundary value problem of flow stability with respect to small perturbations of initial data.
Giuliani Alessandro
Professor
Istituto Superiore di Sanità (Italian NIH) (Roma, Italy)
Вопросы, касающиеся силовых воздействий: некоторые заметки по механобиологии
Исследование воздействия механических сил на живую материю поколебало основы биологических представлений. Вопреки давней традиции, утверждающей конечное причинно-следственное происхождение любого проявления жизни на генетическом уровне, появляется все больше доказательств того, что экспрессия генов может быть задумана как реакция на изменение микроокружения. Механические силы играют доминирующую роль в клеточном микроокружении. Здесь я расскажу о некоторых примерах, начиная с эффектов микрогравитации и заканчивая строением хромосом и резонансными явлениями.
Force matters: some notes on mechano-biology
The investigation of the effect of mechanical forces on living matter is shaking the bases of biological thought. At odds with a long standing tradition positing the ultimate causal origin of any manifestation of living at the genetic level, there is increasing evidence gene expression can be intended as a response to microenvironment changes. Mechanical forces have a predominant role in cell microenvironment. Here I will discuss some examples going from microgravity effects to chromosome structure and resonance phenomena.
Еремеев Виктор Анатольевич
Professor
Gdańsk University of Technology (Gdańsk, Poland)
University of Cagliari (Cagliari, Italy)
Oб антиплоских поверхностных волнах в рамках сильно анизотропной поверхностной упругости
Целью лекции является обсуждение новой модели эластичности поверхности, называемой сильно анизотропной. Создание модели было мотивировано рассмотрением некоторых неоднородных микроструктурных покрытий. Существует, по крайней мере, две причины мотивирующие исследование этих поверхностных структур. Первая связана с полимерными щетками. Интерес к моделированию покрытий, позволил связать полимерные щётки с последними разработками в области супергидрофобных и суперэролеофобных поверхностей, используемых для изготовления так называемых самоочищающихся и бактерицидных покрытий. Другим примером такого покрытия являются гиперболические мета-поверхности.
Вначале мы кратко обсудим вопрос о структуре покрытия. Затем представим континуумную модель, основанную на плотности поверхностной энергии. С физической точки зрения эта модель соответствует покрытию из семейства параллельных длинных волокон, обладающих изгибной жесткостью и жесткостью при растяжении в одном предпочтительном направлении. Наконец, используя вариационный принцип Лагранжа, мы получаем уравнения равновесия и соответствующие естественные граничные условия. Представленную 2D модель можно рассматривать как высоко анизотропную 2D упругость при градиенте деформации. Энергия поверхностной деформации содержит как первую, так и вторую производные поля поверхностных перемещений. Таким образом, она представляет собой класс 2D моделей поверхностной упругости, являющихся промежуточными между Гуртином-Мурдоком и Штайгман-Огденом моделями. Наконец, мы обсудим распространение антиплоских поверхностных волн.
On antiplane surface waves within strongly anisotropic surface elasticity
The aim of the lecture is to discuss a new model of surface elasticity called strongly anisotropic. The model was motivated by consideration of certain inhomogeneous microstructured coatings. The motivation of these surface structures is at least twofold. The first relates to polymeric brushes. The interest to modelling of coatings made polymeric brushes relates to recent developments in superhydrophobic and superoleophobic surfaces used for manufacturing of so-called self-cleaning and bactericide coatings. Another example of such coating is hyperbolic metasurfaces.
First we briefly recall discuss the structure of a coating. Then we present a continuum model with surface energy density. From the physical point of view this model corresponds to a coating made of a family of parallel long fibres possessing bending and extensional stiffness in one preferred direction. Finally, using the variational Lagrange principle we derive the equilibrium equations and the corresponding natural boundary conditions. The presented 2D model can be treated as a highly anisotropic 2D strain gradient elasticity. The surface strain energy contains both first and second derivatives of the surface field of displacements. So it represents a class of 2D models of the surface elasticity which is intermediate between the Gurtin-Murdoch and Steigmann-Ogden ones. Finally, we discuss the propagation of antiplane surface waves.
Кукушкин Сергей Арсеньевич
Профессор
Институт проблем машиноведения РАН (г. Санкт-Петербург)
С.А. Кукушкин, А.В. Осипов
Микромеханика гетероструктур и управляемый синтез новых материалов: Наномасштабный монокристаллический карбид кремния на кремнии и его уникальные свойства
На основе основных положений механики деформируемого твердого тела теоретически предложен и экспериментально реализован принципиально новый метод управляемого синтеза с заданными свойствами и структурой монокристаллических, низкодефектных полупроводниковых пленок на подложках при большом рассогласовании параметров решетки пленки и подложки. На основе данного метода разработана технология получения нового материала монокристаллической нанопленки карбида кремния на кремнии. Метод основан на открытии нового механизма релаксации упругих механических напряжений при росте эпитаксиальных пленок за счет предварительного внедрения в решетку подложки ансамбля нанообъектов—дилатационных диполей — устойчивых комплексов, состоящих из притягивающихся центров дилатации — атома углерода в межузельной позиции кремния и кремниевой вакансии. Впервые в мировой практике реализован метод последовательной замены атомов одного сорта другими прямо внутри исходного кристалла без разрушения его кристаллической структуры. Метод напоминает “генетический синтез” белковых структур в биологии. Качество структуры слоев, полученных данным методом, значительно превосходит качество пленок карбида кремния, выращенных на кремниевых подложках ведущими мировыми компаниями. Метод дешев и технологичен. В настоящее время технология прошла стадию НИОКР. Впервые в мире создан работающей лабораторный макет (излучающей свет) светодиодной структуры на кремнии с подслоем нанокарбида кремния. В настоящее время развернуты работы по созданию в России производства светодиодов на кремниевой основе. Начаты работы по созданию тонкопленочного транзистора с высокой подвижностью носителей заряда (HEMT), пироэлектрических датчиков и датчиков ночного видения стабильно работающих в широком диапазоне температур. Развернуты работы по созданию высоко чувствительных пъезодатчиков и акустических мембран.
Теоретически предсказано и экспериментально подтверждено образование новой фазы Si, находящейся в состоянии «полуметалла» на границе раздела SiC(111)/Si(111). Образование Si в состоянии «полуметалла» на границе раздела SiC/Si (111) связано с большими, кратковременно возникающими (время импульса порядка 10-5-10-4 сек.) «импульсами сдавливания» при переходе Si в SiC. Показано, что давления сжатия, возникающие тонком приграничном слое толщиной порядка нескольких нанометров, могут достигать величин порядка 200-250 GPa. Давления подобной величины приводят к образованию особых, ранее неизвестных, свойств границы раздела SiC(111)/Si(111).
Работа выполнена в рамках проекта Российского научного фонда № 20-12-00193.
Micromechanics of heterostructures and controlled synthesis of new materials: Nanoscale monocrystalline silicon carbide- on- silicon and its unique properties
Using the fundamental principles of deformable solid mechanics, we theoretically elaborated and experimentally implemented a principally new method of controlled synthesis of single-crystal, low-defect semiconductor films with prescribed properties and structures on substrates with a considerable mismatch between the lattice parameters of the film and the substrate. On the basis of this method the technology of obtaining a new material - monocrystalline silicon carbide -on- silicon nanofilm was developed. The method is based on the newly discovered mechanism of relaxation of elastic mechanical stresses during the growth of epitaxial films by preliminary introducing into the substrate lattice an ensemble of nanoobjects-dilatation dipoles, which are stable complexes consisting of attractive dilatation centers - a carbon atom in the interstitial position of silicon and a silicon vacancy. For the first time in the world practice we implemented the method of consecutive replacement of atoms of one kind by another directly inside the original crystal without destroying its crystaline structure. The method resembles the "genetic synthesis" of protein structures in biology. The quality of the layer structure obtained by this method is significantly higher than the quality of silicon carbide films grown on silicon substrates -the technology used by the world's leading companies. The method is cheap and easily producible. The technology has now passed the R&D stage. For the first time a working laboratory prototype (light-emitting) of LED structure on silicon with a silicon nanocarbide sublayer was created. Work is currently underway to launch in Russia the production of silicon-based LEDs. Considerable efforts are focused on the development of thin-film transistors with high mobility of charge carrier (HEMT), pyroelectric sensors, and night vision sensors, which operate steadily over a wide temperature range. Works on creating highly sensitive piezosensors and acoustic membranes are in progress.
The formation of a new Si phase located in the "half-metal" state at the SiC(111)/Si(111) interface has been theoretically predicted and experimentally confirmed. The formation of Si in the "half-metal" state at the SiC/Si (111) interface is associated with large, short-lived (pulse time of the order of 10-5-10-4 sec.) "squeezing pulses" during Si to SiC transition. It is shown that the compression pressures occurring in a thin boundary layer with a thickness of the order of several nanometers can reach values of the order of 200-250 GPa. Pressures of this magnitude lead to the formation of special, previously unknown, properties of the SiC(111)/Si(111) interface.
This work was carried out within the framework of the Russian Science Foundation Project No. 20-12-00193.
Ломакин Евгений Викторович
Член-корреспондент РАН
МГУ имени М.В. Ломоносова (г. Москва)
Ломакин Е.В., Федулов Б.Н.
Зависимость характеристик предельного состояния тел от условий нагружения
Сопротивление многих материалов пластическому деформированию зависит от вида внешних воздействий. Это связано с тем, что механизмы необратимого деформирования материалов включают не только механизмы скольжения дислокаций, но также развитие существующих дефектов и образование новых нарушений сплошности в структуре материалов, перемещение структурных элементов и другие внутренние процессы. При этом пластическое деформирование сопровождается необратимым изменением объема.
Для исследования пластического деформирования и предельного состояния тел, обладающих такими свойствами, предложено условие пластичности в соответствующем обобщенном виде с использованием параметра вида напряженного состояния, представляющего собой отношение гидростатической компоненты напряжения к эквивалентному напряжению Мизеса, характеризующему, в среднем, соотношение между нормальными и касательными напряжениями в среде, названному в литературе трехосностью напряжений.
Данное условие пластичности включает известные условия пластичности, такие как условие Губера – Мизеса, условие Друкера – Прагера, условие Грина. Согласно ассоциированному закону течения, скорость остаточной объемной деформации пропорциональна эквивалентной скорости деформации с коэффициентом пропорциональности, зависящем от параметра вида напряженного состояния, т.е. принимающем различные значения для разных условий нагружения. Особенности пластического деформирования рассматриваемого класса материалов проиллюстрированы применительно к условиям плоской деформации. В рамках жесткопластической модели получены решения ряда краевых задач для полос с вырезами, о действии штампов на поверхности тела. Получены аналитические выражения для значений предельных нагрузок в зависимости от геометрических параметров тел и степени чувствительности их свойств к виду напряженного состояния. Установлено, что значения предельных нагрузок зависят от степени чувствительности свойств тел к виду напряженного состояния и существенно отличаются от значений, полученных в предположениях о пластической несжимаемости материалов и инвариантности их свойств к условиям нагружения. При этом расчеты с использованием упругопластической модели показали, что учет упругих деформаций не оказывает заметного влияния на значения предельных нагрузок.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант 20-01-00356).
Лурье Сергей Альбертович
Профессор
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН (г. Москва)
Васильев В.В., Лурье С.А.
Исследование прочности пластин с трещинами в терминах концентрации напряжений, определенных в нелокальной теории упругости
В последние годы широко обсуждается проблема сингулярностей в задачах теории упругости и механики трещин. Сингулярность решений для напряжений в линейной теории упругости исключает возможность применения критериев прочности тел с концентрацией напряжений. Альтернативные подходы, развиваемые с привлечением моделей когезионных зон, теории размерных эффектов, перидинамической теории упругости, теории критических раскрытий трещин, и т. д. привлекают большое внимание в последние десятилетия.
Градиентная упругость и нелокальная теория, используемая в данной работе (близкая к перидинамической теории) обеспечивает регуляризацию сингулярных решений дифференциальных уравнений теории упругости, позволяет описывать размерные эффекты и допускает возможность использования традиционных подходов к оценке прочности. В работе анализируется вариант обобщенной теории упругости, построенный с использованием техники нелокального дифференцирования, где решение краевой задачи расщепляется в случае статических краевых условий на последовательность решения классической упругости и краевой задачи для уравнения Гельмгольца. В общем случае, предлагается строить несингулярные решения для тензора напряжений через решения неоднородных обобщенных уравнений Гельмгольца для обобщенной функции напряжений. Этим решается проблема согласованности компонент обобщенных напряжений. При этом критерий разрушения формулируется в локальных напряжениях Коши. Рассматриваются изотропные и ортотропные материалы.
Предлагается концепция концентрации напряжений для механики трещин, которая позволяет прогнозировать и предельные напряжения для хрупких трещин и начало предела текучести для нехрупких материалов. Предлагаемый подход включает экспериментальное определение масштабного параметра модели среды, входящего в уравнения обобщенной теории, и вычисление коэффициента концентрации напряжения в окрестности конца трещины.
Делается попытка обработки известных результатов экспериментальных испытаний материалов с трещинами с использованием концепции концентрации напряжений и метода конечных элементов реализованного для градиентной теории упругости. Используются критерии разрушения для напряжений, которые имеют конечные значения во всей области, включая вершину трещины. Другими словами, стандартный метод оценки прочности по концентрации напряжений, используемый в классической теории упругости для тел с регулярной геометрии, переносится на тела с трещинами с учетом эффектов градиента деформаций. (Работа поддержана грантом РФФИ 19-01-00355).
Investigation of the strength of cracked plates in terms of stress concentration determined in the nonlocal theory of elasticity
In recent years, the problem of singularities has been widely discussed in the context of the theory of elasticity and crack mechanics. The singularity of solutions for stresses in the linear theory of elasticity excludes the use of traditional criteria for the strength of bodies with stress concentration. Alternative approaches, developed using models of cohesive zones, the theory of size effects, the peridynamic theory of elasticity, the theory of critical crack openings, etc., have attracted much attention in the last few decades.
Gradient elasticity and the nonlocal theory used in this work (close to the peridynamic theory) provides regularization of singular solutions of differential equations of elasticity theory, makes it possible to describe dimensional effects and allows the use of traditional methods of strength assessment. This study is concerned with the version of the generalized theory of elasticity, constructed using the technique of nonlocal differentiation, where the solution of the boundary value problem is split, under static boundary conditions, into a sequence of solutions of classical elasticity and the boundary value problem for the Helmholtz equation. In the general case, it is suggested that nonsingular solutions for the stress tensor can be constructed by solving the inhomogeneous generalized Helmholtz equations for the generalized stress function. This yields a solution to the problem of consistency of generalized stress components, and the fracture criterion is formulated in terms of local Cauchy stresses. Isotropic and orthotropic materials are considered.
The concept of stress concentration for fracture mechanics proposed in this study enables predicting both the ultimate stresses for brittle cracks and the onset of the yield strength for non-brittle materials. Our approach involves experimental determination of the scale parameter of the medium model, entering the equations of the generalized theory, and calculation of the stress concentration factor at the crack tip.
An attempt is made to process the experimental results obtained for the materials with cracks using the concept of stress concentration and the finite element method implemented for the gradient theory of elasticity. Consideration is given to failure criteria for stresses, which have finite values over the entire region, including the crack tip. In other words, the standard method for assessing strength from the stress concentration used in the classical theory of elasticity for bodies with regular geometry is applied to the bodies with cracks, taking into account the deformation gradient effects. (This study was supported by RFBR Grant 19-01-00355).
Мизонов Вадим Евгеньевич
Профессор
Ивановский энергетический университет (г. Иваново)
Применение теории цепей Маркова к моделированию физико-химических процессов в сплошных и дисперсных средах
Изложены научные основы применения теории цепей Маркова к математическому моделированию процессов переноса в сплошных и дисперсных средах. Эта теория соприродна процессам переноса. Она изучает эволюцию распределения вероятностей состояний в некотором выбранном пространстве состояний. Задачей же моделирования процессов переноса является изучение эволюции распределения некоторого исследуемого свойства в некотором выбранном пространстве состояний этого свойства. При этом пространство изменения этого свойства разбивается на конечное число малых ячеек идеального перемешивания с равномерным распределением этого свойства внутри каждой ячейки. Это распределение описывается вектором состояния, а его эволюция – переходной матрицей (матрицей переходных вероятностей), которая является математическим образом исследуемого процесса или аппарата и строится по стандартным правилам. Несомненным достоинством этой стратегии является то, что весьма разнородные процессы моделируются на основе универсального алгоритма, доступного в инженерной практике. Приедены примеры использования теории к моделированию конкретных процессов: формирование многокомпонентных смесей разнородных дисперсных материалов, нелинейная теплопроводность в многослойной среде с фазовыми переходами в слоях и нелинейная теплопроводность в среде с подвижной границей (задача Стефана).
Application of the theory of Markov chains to modeling physicochemical processes in continuous and dispersed media
The strategy of applying the theory of Markov chains to mathematical modeling of transport processes in continuous and dispersed media is described. The theory makes it possible to model transfer processes and can be applied to study the evolution of distribution of state probabilities in some selected space of states. Modeling of transfer processes indicates how a certain property is distributed in a chosen space of states of this property. The space where the property changes is divided into a finite number of small cells of ideal mixing with a uniform distribution of this property within each cell. This distribution is described by a state vector, and its evolution - by a transition matrix (matrix of transition probabilities), which is a mathematical image of the process or apparatus under study and is constructed according to standard rules. The undoubted advantage of this strategy is that very heterogeneous processes can be modeled on the basis of a universal algorithm available in engineering practice. The efficiency of the theory for modelling specific processes is confirmed by the following factors: formation of multicomponent mixtures of dissimilar dispersed materials, nonlinear thermal conductivity in a multilayer medium with phase transitions in layers, and nonlinear thermal conductivity in a medium with a moving boundary (Stefan's problem).
Милейко Сергей Тихонович
Профессор
Институт физики твердого тела РАН, (г. Черноголовка, Московская обл.)
Композиты с металлической матрицей: современное состояние, нерешённые задачи, перспективы
Современное композитоведение обязано своим появлением композитам с металлической матрицей (КММ), послужившим А. Келли в середине 60-х годов прошлого столетия модельными материалами. Однако, родившись, по-видимому, несколько преждевременно, КММ далее ушли в тень в результате всеобъемлющего, агрессивно-полезного распространения углепластиков (УП), обязанных своим рождением, во-первых, возникшему после работ Келли и его современников пониманию в научных, инженерных и в правительственных кругах России советского периода её Истории и стран по противоположную сторону железного занавеса, - пониманию необходимости замены в наиболее развитых и важных для общества областях техники (авиационной, ракетно-космической и др.) достигающих своего предельного уровня металлических сплавов (МС) принципиально новыми материалами, могущими обеспечить качественный скачок характеристик техники; во-вторых, изобретению в то же самое время процесса производства углеволокна путём переработки существовавших полимерных волокон.
Успехи в разработке композитов с керамической матрицей также способствовали этому «прозябанию» КММ в тени; они лишь изредка выходили в свет, в частности, боро-алюминий продемонстрировал свои уникальные возможности, например, при запуске первых спутников системы ГЛОНАСС, и, одновременно - слабости, связанные, главным образом, с дороговизной соответствующих армирующих волокон.
Сегодняшние «взаимоотношения» в паре КММ-УП напоминают о ситуации в паре УП-МС полвека назад: углепластики по уровню своего развития приближаются к металлическим сплавам и следующий качественный скачок в характеристиках жизненно-важных областей техники невозможен без скачка в характеристиках конструкционных материалов. Таковыми должны послужить волоконные композиты с металлической матрицей.
В докладе на примере композитов углеволокно-титановая матрица и оксидное волокно-молибденовая матрица, разрабатываемых в исследовательской группе автора, показываются (1) некоторые нерешённые задачи технологической механики композитов, (2) перспективы разработки новых КММ, (3) технологический, экономический и экологический эффект применения КММ-конструкций в авиационной и ракетно-космической технике.
Metal matrix composites: state of the art, unsolved problems, prospects
Modern composites science owes its appearance to composites with a metal matrix (MMC), which in the mid-60s of the last century were used by A. Kelly as model materials. However, these materials were seemingly developed ahead of the time, and therefore were withdrawn into the shadows due to the aggressively beneficial spread of carbon fiber reinforced plastics (CFRP). The advent of these plastics was firstly caused by the understanding of the necessity for replacing metal alloys (MA), which reached their limiting potential for use in the key industrial branches (aircraft industry, nuclear industry, etc.), by novel materials with fundamentally new properties and capabilities and proved capable of providing technology leaps. This understanding arose in the scientific, engineering and government circles of Russia during the Soviet period of its history and in the countries on the other side of the Iron Curtain, first, due to the works of Kelly and his contemporaries and then due to the occurrence of new carbon fiber manufacturing technology.
Advances in the development of ceramic matrix composites have also contributed to this “vegetation” of MMCs in the shade. These materials were used only occasionally, in particular, boron-aluminum demonstrated its unique capabilities, for example, when launching the first satellites of the GLONASS system. At the same time, they demonstrated weaknesses associated mainly with the high cost of the corresponding reinforcing fibers.
Today's "relationship" in the MMC-CP pair reminds of the situation in the CP-MA pair, which took place half a century ago: CFRPs are approaching, in terms of their development, metal alloys and the next qualitative leap in the characteristics of vital areas of technology is impossible without a leap in the characteristics of structural materials. These should be fiber composites with a metal matrix.
Using carbon fiber-titanium matrix and oxide fiber-molybdenum matrix composites developed in the author's research group as an example, I will discuss (1) some unsolved problems of the technological mechanics of composites, (2) the prospects for the development of new MMC, (3) technological, economic and environmental effects associated with the application of MMC structures in aviation and rocket and space technology.
Носков Борис Анатольевич
Профессор
Санкт-Петербургский государственный университет, (г.Санкт-Петербург);
Поверхность жидкости в двадцать первом веке
Механика жидкости со свободной поверхностью неизбежно должна учитывать поверхностные свойства. Примерно до середины прошлого века единственной характеристикой жидкости, учитываемой в гидродинамических задачах, было поверхностное (межфазное) натяжение. Во второй половине двадцатого века стали рассматриваться задачи, в которых также необходимо учитывать поверхностные реологические свойства. Классический пример представляет задача о затухании поверхностных волн. Расчет коэффициента затухания без учета дилатационной поверхностной упругости приводит к значениям, в несколько раз меньшим экспериментально определяемой величины. В физической химии поверхностных явлений использование дилатационной поверхностной реологии позволило получить новую информацию о процессах в поверхностном слое растворов поверхностно-активных веществ. Для двадцать первого века характерно расширение арсенала экспериментальных методов химии поверхностных явлений и одновременно применение этих методов к более сложным системам, содержащим макромолекулы и наночастицы. Нано- и микрочастицы могут адсорбироваться из объемной фазы, но могут и самопроизвольно образовываться на межфазной границе, приводя к новым эффектам, влияющим на течение жидкости. С другой стороны, интерпретация экспериментальных результатов, в частности, по эффективному поверхностному натяжению и поверхностной реологии оказывается более сложной. Планируется представить краткий обзор результатов последних лет по свойствам адсорбционных и нанесенных поверхностных нано-и микрогетерогенных пленок на границе жидкость-газ.
Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (проект № 18-29-19100 мк).
The surface of a liquid in the twenty-first century
The mechanics of a free surface liquid must inevitably take surface properties into account. Until the middle of the last century, the only characteristic of a liquid, which was considered in the framework of hydrodynamic problems, was surface (interfacial) tension. The second half of the twentieth century was marked by the development of the problems, in which surface rheological properties must also be taken into account. A classic example is the problem of attenuation of surface waves. Calculation of the damping coefficient without taking into account the dilatational surface elasticity leads to values that are several times smaller than the experimentally determined value. In the physical chemistry of surface phenomena, the use of dilated surface rheology has made it possible to obtain new information about the processes in the surface layer of surfactant solutions. The twenty-first century is characterized by the expansion of the arsenal of experimental methods for the chemistry of surface phenomena and, at the same time, by the application of these methods to more complex systems containing macromolecules and nanoparticles. Nano- and microparticles can be adsorbed from the bulk phase, but they can also spontaneously form at the interface, leading to new effects affecting the fluid flow. On the other hand, the interpretation of experimental results, in particular, in terms of effective surface tension and surface rheology turns out to be more difficult.
It is planned to present a brief review of recent results illustrating the properties of adsorption and deposited surface nano- and microheterogeneous films at the liquid-gas interface.
The work was supported by RFBR (project N 18-29-19100 mk).
Plourabouѐ Franck
Professor
Институт механики жидкостей Тулузы, (г.Тулуза, Франция)
Последние разработки в области анализа ионного ветра
Ионный ветер представляет интерес для нескольких прикладных задач, таких как электростатические фильтры, газовые насосы, анализаторы частиц, миниатюрные тепловые охладители, электрофотосъемка и совсем недавно аэроэлектродинамическая (AED) двигательная установка. Во время этой презентации будет впервые представлен краткий обзор последних достижений в этой области, особенно в области пропульсивных установок.
С позиций фундаментальных исседовний в докладе будет также обсуждаться физика коронного разряда и его моделирование.
Затем будут представлены некоторые новые результаты моделирования, связанные с двумя различными подходами. С одной стороны, применение приближения Капцова к излучателям позволяет моделировать дрейф-области, используя самонастраивающуюся стратегию измельчение сетки в рамках конечно элементной программы решения, что позволяет исследовать множество конфигураций излучателей/коллекторов. Этот подход, хотя и приблизительный, уже дает интересные прогнозы для основных параметров представляющих интерес, т.е. прогнозируемого тока и силы тяги. С другой стороны, новый подход, основанный на многополярном разложение фотоионизационного ядра, позволяет свести задачу по моделированию области коронного разряда/дрейфа к двум локальным (нелинейным) связанным задачам. Будут приведены некоторые примеры связанных решений и их сравнение с аппроксимацией Капцова для эмиттеров. Перспективы для этих областей будут обсуждены в конце презентации.
Recent developments on Ionic wind analysis
Ionic wind is of interest in several applications such as electrostatic precipitors, gas pumps, particle analyzers, miniaturized heat coolers, electro-photography and more recently Aero-Electro-Dynamic (AED) propulsion. During this presentation a short survey of recent advances in the field will be first presented, especially Focusing on propulsive applications.
From a more fundamental viewpoint, the presentation will also discuss the physics of corona discharge, and its modeling.
Some new modeling results will then be presented associated with two distinct approaches. On the one hand, the use of Kaptzov approximation at emitters permits a modeling of the drift-region using a self-adapted mesh-refinement strategy within a finite-element solver permitting the exploration of many emitters/collectors configurations. This approach albeit approximated, already provide interesting predictions for the main quantities of interest, i. e, the predicted current and the propulsion force. On the other hand, a new approach, based upon a multi-polar expansion of the photo-ionization kernel, permits to split the corona discharge/drift region modelling issue into two local (non-linear) coupled problems. Some example of coupled solutions and their comparison with Kaptzov approximation at emitters will be provided. Perspective for the domains will be discussed at the end of the presentation.
Proud William
Professor
Shock Wave Institute, Imperial College, (London, UK)
W.G. Proud, G. Tear, D. Sory, S. Rankin and K. Brown
Динамическая реакция нелинейных материалов: Повреждения в биологических и инженерных материалах
В данной презентации будет рассмотрен вопрос об измерении повреждений в трех типах материалов, процесс нанесения повреждения и последствия каждого из них. Материалы поступают из различных источников и неоднородны по своей природе. Цемент, где микротрещины, вызванные микроволнами, оказывают заметное влияние на динамическую прочность. Полимеры, где сочетание скорости деформации, температуры и структуры вызывают сложную прочностную и деформационную реакцию и, наконец, нагрузка на человеческие стволовые клетки (STEM), где давление, скорость деформации и окружающая среда оказывают заметное влияние. В каждом случае акцент будет сделан на необходимость учитывать способ необходимых измерений, адаптацию систем нагружения и то, как измерения могут быть использованы для характеристики нелинейных материалов.
The Dynamic Response of Non-linear materials: Damage in Biological and Engineering materials
This presentation will consider the measurement of damage to three types of material, the damage process and the consequences of each. The materials come from different sources and are heterogeneous in nature. Cement where microwave-induced microcracks have a marked effect on the dynamic strength. Polymers where a combination of strain-rate, temperature and structure produce a complex strength and damage response and, finally, the loading of human STEM cells where pressure, strain-rate and environment have a marked influence. In each case the emphasis will be on the need to consider the type of measurement required, adaption of loading systems and how measurements can be used to characterise non-liner materials.
Пухначев Владислав Васильевич
Член-корреспондент РАН
Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН (г. Новосибирск)
Мелешко С.В., Пухначев В.В.
Уравнения пограничного слоя в динамике полимерных растворов
Необычные свойства, которые обнаруживаются в движении воды при внесении в нее небольшого количества растворимого полимера, существенно проявляются в пограничном слое вблизи обтекаемых твердых поверхностей. В докладе формулируются уравнения плоского нестационарного ламинарного пограничного слоя для двух моделей в динамике полимерных растворов – модели Павловского и модели Ривлина – Эриксена. Изучаются качественные свойства указанных моделей на основе их точных решений. Обе указанные модели содержат единственный эмпирический параметр – нормализованный коэффициент релаксационной вязкости с размерностью квадрата длины. Величина , где толщина пограничного слоя Прандтля, показывает относительный вклад релаксационного фактора в динамику процесса. Модель Павловского обладает очень богатыми групповыми свойствами, подобно классической модели Прандтля. Характерной особенностью модели Ривлина – Эриксена, в отличие от модели Павловского, является зависимость давления в пограничном слое от вертикальной координаты. Подтверждение этой зависимости или ее отсутствия в эксперименте могло бы служить аргументом в пользу выбора одной или другой конкурирующих теоретических моделей.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта – 19-01-00096).
Sevostianov Igor
Professor
Mechanical engineering, New Mexico State University, (New Mexico, USA)
Эффективные свойства гетерогенных материалов в зависимости от их микроструктур и перекрестных свойств
Основное внимание в презентации уделено правильной количественной характеристике микроструктур неоднородных материалов в контексте моделирования их эффективных свойств. Это широкая тема, охватывающая различные физические свойства (упругие, тепловые, электрические и др.), а также различные типы микроструктур. Соответствующие микроструктурные параметры должны корректно отображать вклад индивидуальной неоднородности в рассматриваемое свойство. Они могут различаться для различных физических свойств. Ключевой задачей является идентификация указанного индивидуального вклада. Возможность образования явных перекрестных связей свойств, которые связаны с изменениями различных физических свойств, вызванных различными неоднородностями (трещины, поры, включения), зависит от возможности выражения двух свойств через одни и те же или аналогичные микроструктурные параметры. Практическая польза перекрестных связей заключается в том, что одно физическое свойство (скажем, электропроводность) может быть легче измерено, чем другое (скажем, анизотропные упругие константы). Это позволяет обойти трудности при выражении
упругих свойств на основе соответствующей микроструктурной информации (которая, кроме того, может быть недоступна). Такие связи полезны также при проектировании микроструктур для комбинированных проводящих/механических характеристик и при мониторинге накопленных повреждений. Обсуждаются также возможности перекрестных связей с учетом параметров прочности и пластичности. Теоретические результаты проиллюстрированы многочисленными приложениями, недавно разработанными в Центре микромеханики Университета штата Нью-Мексико.
Effective properties of heterogeneous materials in relation to their microstructures and cross-property connections
The presentation focuses on the proper quantitative characterization of microstructures of heterogeneous materials in the context of modeling their effective properties. This is a broad subject that covers different physical properties (elastic, thermal, electric, etc.), as well as various types of microstructures. Proper microstructural parameters must correctly represent the individual inhomogeneity contribution to the considered property. They may differ for different physical properties. The key problem is to identify the mentioned individual contributions. The possibility of explicit cross-property connections, which relate changes in different physical properties caused by various inhomogeneities (cracks, pores, inclusions), depends on the possibility to express the two properties in terms of the same or similar microstructural parameters. Practical usefulness of the cross-property connections lies in the fact that one physical property (say, electrical conductivity) may be easier to measure than the other (say anisotropic elastic constants). This allows one to bypass difficulties of expressing the elastic properties in terms of relevant microstructural information (that, in addition, may not be available). Such connections are also helpful in the design of microstructures for the combined conductive/mechanical performance and in monitoring of accumulated damage. We also discuss the possibilities of cross-property connections involving strength and plasticity parameters. Theoretical results are illustrated by multiple applications recently developed in the Center of Micromechanics at New Mexico State University.
Тучин Валерий Викторович
Член-корреспондент РАН, профессор
Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского (г. Саратов);
Лаборатория лазерной диагностики технических и живых систем, Институт проблем точной механики и управления РАН (г. Саратов);
Междисциплинарная лаборатория биофотоники, Национальный исследовательский Томский государственный университет (г. Томск);
Лаборатория ФемтоМедицины, Университет ИТМО (г. Санкт-Петербург);
Федеральный научный центр Биотехнологии РАН (г.Москва)
Оптическое просветление биологических тканей: на пути к мультимодальной медицинской диагностике
В лекции будет дано краткое описание оптики биологических тканей, концепции «окон прозрачности биотканей» и метода оптического просветления (ОП), основанного на контролируемой и обратимой модификации структурных и оптических свойств ткани путем ее иммерсии в биосовместимых оптических просветляющих агентах (ОПА). Будут представлены основы и механизмы ОП, позволяющие существенно повысить качество оптической визуализации и эффективность лазерного воздействия на живые объекты. Будет проанализирован перенос воды в тканях и изменение их свойств под действием ОПА, включая обратимое обезвоживание и усадку, баланс свободной и связанной воды. Увеличение глубины зондирования (или воздействия) и контраста оптического, КТ и МРТ изображения для различных тканей человека и животных, включая кожу, склеру глаза, твердую мозговую оболочку, ткани мозга, миокард, мышечную ткань, хрящевую и костную ткани, кровь и др. ткани, будет продемонстрировано на примерах исследований с использованием спектрофотометрии, ОКТ, фотоакустической микроскопии, линейной и нелинейной флуоресценция, ГВГ и КР микроскопии и динамической спекл-визуализации полного поля. Будут представлены экспериментальные данные по коэффициентам диффузии и проницаемости глюкозы, глицерина, ПЭГ, Omnipaque, Gadovist, альбумина и других ОПА для нормальных и патологических тканей. Будут обсуждены перспективы использования иммерсионного ОП/контрастирования для улучшения визуализации живых объктов с использованием различных методов визуализации, работающих в сверхшироком диапазоне длин волн от возбуждения пучками свободных электронов (черенковское излучение) до терагерцевых волн.
Optical Clearing of Biological Tissues: Towards Multimodal Medical Diagnostics
The lecture will briefly describe the optics of biological tissues, the concept of "transparency windows of biological tissues" and the method of optical clearing (OC), based on a controlled and reversible modification of the structural and optical properties of tissue by it immersion into biocompatible optical clearing agents (OCA). Consideration will be given to the fundamentals and mechanisms of OC, allowing one to significantly improve the quality of optical imaging and the efficiency of laser action on living objects. The transfer of water in tissues and changes in their properties under the influence of OCA, including reversible dehydration and shrinkage, the balance of free and bound water, will be analyzed. Increasing depth of probing (or exposure) and contrast of optical, CT and MRI images for various tissues of humans and animals, including skin, sclera of the eye, dura mater, brain tissue, myocardium, muscle tissue, cartilage and bone tissue, blood and other tissues, will be demonstrated through an analysis of the results obtained using spectrophotometry, OCT, photoacoustic microscopy, linear and nonlinear fluorescence, SHG and Raman microscopy, and dynamic full-field speckle imaging. Experimental data on diffusion and permeability coefficients of glucose, glycerol, PEG, Omnipaque, Gadovist, albumin and other OCA for normal and pathological tissues will be presented. Prospects of using immersion OC / contrasting to improve visualization of living objects using various imaging methods operating in an ultra-wide wavelength range from excitation by the beams of free electrons (Cherenkov radiation) to terahertz waves will be discussed.
Чупахин Александр Павлович
Профессор
Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН (г. Новосибирск)
Геометрия и энергетика моделей гемодинамики и роста мозга
В докладе будет рассказано о геометрическом и энергетическом подходах к исследованию гемодинамики церебральных сосудов и росту мозга плода человека. Основой для анализа гемодинамики церебральных сосудов являются данные внутрисосудистого мониторинга кровотока, разработанного совместно с медиками Федерального медицинского центра Клиника им. Ак. Мешалкина. Важным результатом этого мониторинга является разработка и использование диаграмм “давление-скорость” (p-v), характеризующих релаксационные колебания гидроупругой системы “поток крови-упругая стенка сосуда” как в норме, так и при наличии аномалии. Разработан вычислительный комплекс для расчета такой гидроупругой системы. При расчете с использованием этого комплекса системы, моделирующей сосуд с аневризмой и дивертикулом (маленькой субаневризмой), получено совпадение с реальными (p-v) данными нейрохирургического мониторинга. Показана роль различных энергетических характеристик системы: энергий кинетической, вязкой диссипации, изгибания.
Выполнена обработка и анализ клинических данных магнито -резонансной томографии мозга плода человека, полученных в Томографическом центре СО РАН. Обнаружены базисные закономерности роста мозга плода в норме: линейный закон роста, разделение структур мозга на три группы по значениям скоростей роста, высокая степень корреляции скоростей роста для пар структур во втором триместре развития и большая индивидуализация в третьем.
Обсуждаются вопросы взаимосвязи геометрии структур мозга плода, таких как мозолистое тело и мозжечок, с изопериметрическим отношением (куб площади к квадрату объема) и энергией Уиллмора-Хеллфриха.
Geometry and energetics of models of hemodynamics and brain growth
The presentation will present geometric and energetic approaches to the study of hemodynamics of cerebral vessels and the growth of the human fetal brain. Analysis of the hemodynamics of cerebral vessels is based on the data obtained during the blood flow intravascular monitoring procedure, developed in cooperation with the physicians of the E.N. Meshalkin National Medical Research Center. A significant result of this monitoring is the development and use of “pressure-velocity” (p-v) diagrams characterizing the relaxation oscillations of the hydroelastic system “blood flow-elastic vessel wall” both in normal conditions and in the presence of anomalies. For designing this hydroelastic system, a computer complex has been developed. The calculation results for the system representing a vessel with an aneurysm and a diverticulum (small subaneurysm) coincide well with the real (p-v) data of neurosurgical monitoring. The role of various energy characteristics of the system is shown: kinetic energy, viscous energy dissipation, bending energy.
Clinical data of magnetic resonance imaging of the human fetal brain, obtained at the Tomographic Center of the SB RAS, will be described. It is planned to present the basic patterns of normal fetal brain growth: a linear growth law, division of brain structures into three groups according to the values of growth rates, a high degree of correlation of growth rates for pairs of structures in the second trimester of development, and a large individualization in the third.
The issues regarding the relationship between the geometry of fetal brain structures, such as the corpus callosum and cerebellum, and the isoperimetric ratio (cube of area to square of volume) and Willmore-Helfrich energy will be discussed.
